模型与实在

我们知道,在谓词逻辑中,对于所有模型M,如果它对所有出现在φ1,…,φn,Ψ的谓词符、常项和函项符号都给予了解释,并且,一旦VM(φ1)=…=VM(φn)=1,就有VM(Ψ)=1,则φ1,…,φn/Ψ就是语义有效的(semantically valid)。简单说,给定某个逻辑公式φ(它可以代表相当复杂的语句),我们可以尝试找出一个使得φ成立的模型M;反过来,给出一个模型M,我们可以尝试描述那些在其中成立的公式。比如,如果我们给出:

(1)∀x∀y(Rxy→Ryx)

这个逻辑语句,我们首先给出这个语句所有的谓词符、常项和函项符号的解释I,这里R是表示对称关系,x和y是指称任意具有R关系的实体的常项,∀是全称量词符号,所以(1)解释可以是,如果有一个箭头在一个方向连接了两个点,那么就有另一个箭头在另一个方向上连接着两个点。这个解释的性质是什么呢?它其实已经是一个模型。是否将这一解释以比如几何图形的形式画出来,并不是必需(其实,无论是(1)这样的语句,还是上面对它的所谓解释I或者我们根据那个解释I画出的某个图M,就它们是符号的意义上,并没有本质差别,有的时候,有些符号充当被其他符号指示的事物,而有的时候它自身是指示其他事物的符号)。实际上,(1)可以有很多解释,这取决于我们对(1)中的各个符号的解释(我们可以把这个环节看成是定义),不同的解释实际上就是不同的模型。

我们还可以先给出一个模型,然后尝试描述对于它成立的公式。下图表示的是一本书各章节间的关联。我们根据这个模型,可以尝试给出一些公式,用于说明它们的关系。比如我们可以判定如下公式是否成立:

(2)∃xRxx

(3)∃x∃y(x≠y∧Rxy∧Ryx)

(2)的解释是,存在某个章节,只与自身有关系(反身性)。(3)的解释是,存在两个不同的章节,它们具有相互关联(对称性)。可以给出非常多类似的公式,尽管它们描述都是某个模型的某些局部。

看起来,模型使得对象及其关系直观地呈现给我们,而逻辑公式则局部地说明模型所呈现的事态。一个问题是,在先给出模型的情况下,逻辑公式是如何给出的?我们已经知道,当给出的模型是一幅图像,它就只是在我们面前,并没有自己“说”什么。我们建立逻辑公式的过程中表明,我们既看到了图像中的“对象”,也看到了它们之间的“关系”,逻辑公式所要表明的逻辑,就是在特定论域(可以理解为对象的范围)内的对象的关系的。反过来,如果先给出一个逻辑公式(当然有相应的解释),我们就可以很容易给出某个模型,用来说明这个逻辑公式是否成立。在这个意义上,我们只是看到这个逻辑公式,就明白了它所要描述的某个事态:特定的对象处于特定的关系之中;模型就不过是一种例证,用来表示逻辑公式所要说明的事态可以是那个样子的。不论我们以怎样的形式展现这个模型,逻辑公式的有效性都不受影响。比如我们可以画出一个几何图形,用几何图形的点和线段分别表示逻辑公式中的对象和关系。大胆一点,我们可以举出日常生活中的经验,比如对于∃x∃y(x≠y∧Rxy∧Ryx),我们说夫妻就处于这样的关系中,夫的存在必须与妻的存在为前提,反之亦然。但是,为什么我们就认为夫妻是对称关系呢?不过有一点值得注意,不论是几何图形中的点,还是日常经验中的夫妻,它们都成为某个逻辑公式的常项所指示的对象,它们的关系因而也就被常项之间的关系所说明了。

在这里,我们几乎没有理由说,所谓的逻辑公式和模型有本质区别:它们都不过是某种语言形式。战场上的两位将军在营帐中拿出桌子上的茶杯、毛笔和砚台比划前方军情,无需特别说明,双方都知道这是在做什么。但是到这里,两件事发生过但可能没有被注意到:假如这个故事是真实的,那么现在我们说到那时的场景时,“茶杯”、“毛笔”和“砚台”只是语词,所以发生的第二件事就是,我们用那些语词来指示当时真实的茶杯、毛笔和砚台;我们这样做是因为发生了第一件事:当时的将军们在用茶杯、毛笔和砚台指示外面的战场中的对象。在第一件事中,茶杯、毛笔和砚台是常识中的物,在第二件事中,“茶杯”、“毛笔”和“砚台”是语词;但是它们都有指示作用,都充当了符号。我们大概不会因为它们的物理形态(这样说是要抱着容易引起误解的风险的:语词的指示符,总要以特定的物理图形展现出来,我们把它们称之为“刻画”(inscription),它们仍然是物理的,有广延性也占据时空,它们不是纯粹的柏拉图理念)有别而说它们在这两件事之中有什么本质区别。您现在看到我制造的一堆符号,它们在说着某些对象及其关系,与您转过头去看所谓的“世界”,有什么本质的差别吗?至少在这里,所有的东西,都还只是物。可是在我们的心灵中,对象和关系是清楚的。

这些对象和关系的性质到底是什么呢?在思考这个问题之前,有人会提醒我们,如果把模型精细化,我们可以得到一个数学公式,借着这个数学公式,我们可以做更多的推理和证明,而这个不是纯粹物理的。数学似乎享有某种超现实的特权,被认为只是用来指示物理世界,而本身不属于物理世界,甚至在柏拉图主义者看来,它们是有别于物理世界的存在,即理念世界的存在。如果数学真的有这种特权,代表着理念世界,那么上面的问题就会暂时缓解:我们可以说理念世界规定了物理世界中什么是对象并进而说明它们的关系但自身又免于被物理世界所说明。

在这个问题上,数学家们仍然一直争论不休。让我们暂时把他们的争论放在一边,继续讨论物理世界的对象和关系问题。可以这样问上面那个问题,我们判定世界中的对象的根据是什么?这是个十分复杂的问题。判定世界中的对象根据与最终判定世界的对象的根据是不同的问题。判定什么是一只茶杯,什么是一个人,什么是一个分子,这都是些没什么争议的事情。但是,这只是在特定场合。所谓场合,我们不妨说的更详细点,是特定的认知和行动实践中。在选举登记活动中,如果法律规定年满十八周岁的成年人(不论性别、种族、地域、宗教、财产等)都可以登记为选举人,那么在这项活动中,所关注的对象——成年人——是确定的。如果我们把主题限定到选举程序中,我们就圈定了一个可能有待系统化的逻辑系统,这里首要的是对象是被确定了的。

对象就是特定逻辑系统中可以成为“个体”(individual)的东西,我们不妨也说它是“实体”(entity)甚至不那么容易引起有些人反感的“项目”(item)。无论称呼是什么,对象在一个逻辑系统中的显著性质是,它是与其他对象相互独立的,关系要从它们之间去寻找,而不能在它们内部去寻找。

假如我们的目光从选举程序这个系统转向更大的系统,讨论选举政治,那在我们当前的逻辑中有这样一个命题,“合格的被选举人应当是一个作风正派的人”(不妨匹配一个逻辑公式作为说明:p→q,解释是:其中p指作风正派的人,q指被选举人),问题在于,什么是作风正派的人?要去哪里寻找p→q中公式p的逻辑常项x要指示的那个对象呢?我们会常识给出一些规定,这些规定说明了一个成年人应当具有的品质(quality),它们共同界定了“作风正派的人”。我们在这里遭遇了一件事,“作风正派的人”不是一个实体,而是诸多要素的组合,在我们的日常语言中,就是各种品质。但是严格地说,这里不恰当地使用了“品质”这个词,因为至少就我目前地表述而言,我更倾向于认为我们实在谈论某种外延性的东西,而不是内涵性的东西(这一点在后面会更清楚):各种所谓的“品质”只是某个人的外在标签,由于具备了这些标签,就被认定成为某种个体——作风正派的人——我不认为这是在谈论某些人的品质,而是在谈论某种表观,要是我们在最开始的时候就认定,人是一种实体,接着我们发现有些人有某些品质有些没有,我们就在人这个较大的种之下发现较小的属,那么说这是在谈论内涵性的东西一点问题也没有。问题在于,并不是有不同于确定“作风正派的人”的过程的确定“人”的过程:我们依然是根据一些标签的组合确定什么是人,不论这个过程如何顺畅以至于被忽略。

所以,如果我们明白了,既然在一个逻辑系统中,对象必须要确定,而对象是独立于其他对象的实体,并且我们发现这些对象是在另一个逻辑系统中被确定的另外一组不同种类(class)的对象的组合,那么我们就大概已经嗅到了危险的气味:要确定那个为所有逻辑系统所共同依赖的对象,也就是基础对象就成了最大的渴望,可是这个对象也许并不存在,而且在我们找到它之前,在任何一个单独的逻辑系统里去寻找对象,一不留神就会犯错,我们要拿来作为基础的那个对象并不是一个实体,而是一个构体;这样,检验一个逻辑系统中的对象就被迫要检验其他所有逻辑系统,这将是巨大的理智负担,我们最终还是要回到那个基础对象的问题上。问题在于,这个基础对象问题的出路在哪里呢?

唯名论现在可以登场了。唯名论不承认有任何真正的共相(universals),而认为只有殊项(particulars)。在我们上面的论述中可以清楚地看到这方面的倾向:说一个对象存在,那不过是说某些其他类型的对象的组合存在;而这其他类型的对象自身的确立也处于同样的情形。这样看来,也就没有什么抽象对象,只有具体对象;所谓抽象对象,不过是确定的具体对象的组合。有些柏拉图主义者就认为,特定组合作为类型,就是真正的实体,它是可以直接为人的思维所认识的。在唯名论者看来是一系列特征组合的“马”的概念,在柏拉图主义者看来,可以说有马的理念。在数学上,每个集合是一个类(class),一个类可以是一个实体。

直到现在我们明白了:在很大程度上,无论是唯名论者还是柏拉图主义者,都明白我们所说的许多对象其实是类,就是一些成员的集合(当然它可以是空集)。我们接着谈一下模型的问题,这个问题之后,我们回到唯名论与柏拉图主义者的争论的问题上。

科学家想要有所发现,她必须在前人的基础上开展工作。前人的工作主要就是那些已经大大小小的模型。这些模型有的相当粗疏,有的相当精细,有的已经被重重确证,有的还只是有待证伪。我们想象她在这些基础上的进一步工作是什么。她有许多工作可做:她可以试图检验一个模型的正确性,比如试图去找到模型描述的某个对象;如果她发现模型所描述的对象依据一些模型所承认的原则和规则并不能被发现,那么这个模型就可能会被推翻;如果她发现这些对象并不很好地适合(fit)这个模型,那她就倾向于修改对对象的描述或者修改模型;如果她有幸发现,由于修改对象所导致的模型的修改这两个组合导致了对其他更多的模型的修正,那么她就可能有了重大的科学发现。在她试图总结一个非常突出的科学成果的时候,她总是尝试建立一个特殊的模型,这个模型改进乃至替代了以往模型,其中,新的对象被确定了,使用这个模型,这些对象的关系得到准确描述,它可以用于预测未来的试验结果。

她努力要做的是,说明某种东西存或是什么样子的(这里说某种东西是什么样子的,是非常不严谨的,因为在精确的前言科学研究中,没办法先说有某种东西,然后描述它有什么性质,毋宁说,一系列的性质的组合被认定是某种东西)。要说明某种东西存在或是什么样子,就得说明这种东西与其他已得到精确描述的对象的关系。

有两个问题:第一是,这个待确定的东西作为一个其他元素的集合(一个类),需要说明这些元素如何组合成这个集合;第二是,这个集合作为一个元素,如何契合其他已知的集合。这样,我们可以说,说明了什么东西存在,就是要建立一个模型,该模型描述了一个诸元素的组合,我们说,是那个组合是实在,而这个实在其实是一个模型。

她常有可能犯的错误是,为了想要确定一种东西存在,她常常有目的地调整自己的模型,以支持那个东西存在;有的时候这个过程很容易,有的时候她就为了使这个对象存在而不合理的调整她的模型,以致这个模型与已得到准确描述和验证的其他模型冲突。设想,为了建立一个模型M以确定某个东西O的存在,她最终考虑了a、b、c、d、e五个元素,但是她发现,将e包含进这个模型,将会使得这个模型与其他模型发生较大的冲突从而不能证明O的存在,她就有可能将e从这个模型中剔除出去,或者把它的更小的参数进行有目的的调整(这种调整如果按照规则需要实验观察的证明,她很有可能会为了修改它而伪造实验结果),从而使M整体仍得以建立,O的发现仍是可以证明的。但是,也许只有她自己知道,对于e是不是100%被剔除,她没有信心(然而,在她发表的论文中,e不被呈现,表观上,有可能导致读者认为e是完全不相关的)。当然可以想象,拙劣的科研工作者将可能犯的一系列错误:错误的理解了作为研究基础的模型;不道德地声称自己的实验结果验证了某个模型(无论是作为研究前提的还是需要建立的模型);错误地建立一个新的模型,因为其中的元素由于错误的理解作为研究基础的模型的而根本不存在或不是那样的。

自然科学研究文献数量远大于人文社会科学的。不过它们的错误方式居然是相似的:错误地理解某种理论(模型),从而汇集错误的对象(它们是由这些作为前提的理论/模型界定的),并错误地建立新的理论(模型);假如没有错误理解作为前提地的理论(模型),但有的时候,不道德地声称观察到能够支持新理论(模型)的某些经验材料,从而确定新对象。对于自然科学来说,这大量的文献根本没人过问,但只要有人尝试去验证,就非常容易发现,不是指出它们错误理解了作为前提的理论/模型,就是伪造了实验结果。然而社会科学不那么幸运,即使高明的理论研究者能够非常正确地指出类似的错误,当事人仍可狡辩,不过狡辩的原因在于,不像自然科学研究者对自己为何犯错非常清楚,社会科学的多数研究者甚至根本不知道自己为什么会错。知道自己为什么会错,对任何研究者来说都是幸运的。

现在回到一般性问题上,基础对象的问题。数学家在此可以提供很大的帮助。他们从最基本的数字开始来建立非常庞大的体系。我们如果允许某种基础对象的存在,并且数学能够以一种映射基础对象的方式在自身进行实验,就有可能为基础对象是否可能以及如何去处理这些对象提供可贵的探索。

假设我们这个世界的基础对象是被叫做e的元素,一个不错的问题是,可否以此为基础,从形式上证明,由此建立的系统是没有矛盾、一致和可理解的?很不幸的是,许多的数学家们的工作表明,这里有很大的困难。我不是数学家,无力去讨论这些困难。像数学中的连续统问题、实无穷问题、无限问题以及数学中的直觉主义和形式主义争论都可以被看作是与这个问题直接相关的。一个典型的例子是勒文海姆-司寇伦悖论。这些争论表明,对基础元素进路的支持不够乐观,这就导致在三个策略中的有趣选择:一是退到柏拉图主义者的类型论中,直接承认类型的实体基础;一是退到直觉主义中,在否定柏拉图式的实体的前提下,声称不需要任何明确的元素选择(在集合论上,这意味着直觉主义建立一种实体不需要选择公理的帮助),一是坚持一种强硬的实在论,认为科学语言(包括数学语言)是否保持一致与它是否为真并没有关系,在科学语言中保持一致的命题p可能是真的,也可能是假的。目前看来,最没有前途的是第三种策略,而一种得到恰当处理的直觉主义和某种柏拉图主义则是有力的备选对象。

不过数学家们带给我们的失望,并没有使我们放弃在其他领域内继续关注模型与实在的问题。我们了解到,寻找基础对象事业的最终命运不那么乐观,甚至看起来是无解的。但在特定领域,我们有许多问题可以继续探讨:1)如何在特定的领域内建立起模型,其中对象被合理地确立,以及2)是否有一些准则,使我们在有限的领域内判定该模型的正确性。我们明白了在特定场合,特定对象的确立是被需要的,但我们也知道,这些对象本身是一个特定模型的结果。真正的“个体”似乎无处寻觅。

这样,我们就有第3)个问题,是否有不是理论/模型负载(theory/model-laden)的对象。

回想哲学史上曾叱咤一时的逻辑实证主义“证实原则”已沦为笑柄。一个陈述如果要有意义,除了数学和逻辑重言式之外,必须是经验可证实的。给定一个陈述,每个词项都得到解释,其中的专名指示特定的对象,这个对象必须是可以(至少是原则上)被经验观察到的。问题在于,我们不可能无理论/模型负载地观察,我们所观察到的所谓对象,其实是一个理论/模型的结果,我们不能就这样草率地拿这个对象来证实我们的那个陈述。实际上,逻辑实证主义者们自己也认识到这个问题。

卡尔纳普在《世界的逻辑构造》中设想了一个人如何从前概念的感觉(erb)建立起比如某些颜色的概念来,他没有说这是我们实际的认知经验,而只是对我们的认知经验的理性重构。他明白,并不存在没有理论/模型负载的感觉;而且,即使我们明白所有的对象的建立是各种概念/模型/理论交错影响的结果,他也不认为我们有真正的基础对象(所谓的erb,已经说过,是为了理性重构发明出来的,实际并不存在),所有的对象作为一种实体,只是程度问题(组合它的元素并不那么清晰,一如它要作为元素组合别的对象那样)。

总结一下。如果从逻辑的观点看,任何思考、陈述乃至行动都是有逻辑的:它表达了特定的对象处于什么关系中;或者说特定的对象具有什么性质。在我们的思考、陈述和行动中,不是在应用逻辑就是在创建逻辑,我们无时无刻不在扩展、拼接、修正和再造逻辑,就是说,无时无刻不在去断言,某些对象应当处于什么关系之中。一切谬误都在这里发生,这一点在我对那个科学家的工作的描述中得到体现。例子是无穷的,比如美中贸易委员会主席克雷格·艾伦批评特朗普说,“如果我们希望把华为排除出我们的网络,很简单,下令禁用华为即可。但把华为列入实体清单并禁止美国公司与它做生意,这更像是谋杀,是要将他们(华为)赶尽杀绝。……如果有陌生人敲门,你不让他进来就行了,可是你有权直接开枪打死人家吗?”显然,艾伦在应用乃至创造一个模型,以表明特朗普政府的作为的性质。

此对象非彼对象,因而彼对象适用之逻辑不适用此对象,乃是所有错误中最基本的形式

在我的论述里,我对逻辑的理解采取了一种外延主义的进路,即我不认为真正的逻辑处理的是对象的性质的问题,因为性质有事物的内涵的意思(尽管我们可以看到,有一种对性质做外延主义的处理方式)。说某些对象比如x有性质F,则一个一阶谓词就建立起来,记作Fx。然而,对于x,既然已经被我们指定了,它在Fx这个逻辑表达式中就是确定了的,比如说,被选举人(x)是作风正派的(F),这里,选举人是已经被我们确定了的,而F是什么呢?我认为,F作为一种性质,只不过是某些对象的组合,我们可以说F是y的一特征组合。其实在这一点上,x与F处于相同的情况,即x虽说在这里被确定是一个对象,但其实也是某些它之外的对象的组合。一个东西,它被看作是一个对象,乃至于是一种性质、个体、特征、属性等等,在特定的场合之所以如此,是因为需要;但同时不妨碍我们说它是诸多其他对象(或许可以说是元素、要素,随你怎么说)的组合。至于什么是基础对象,未必是一个值得追问的问题;只是我们必须得坚持的一点是,不承认任何的组合(或者叫类、集合)是实体。我们说任何东西,都只是说它在特定的场合由某些其他对象组合而成,而这些对象是可以被一一标记的,我把这种进路称作外延主义的。

模型处理的正是在特定场合什么对象将处于什么关系之中的问题。基于不同的需要,特定的模型会选择特定的元素组合为它所需要的对象,选定的过程也是决定对象的关系的过程。

由此我们发现了另外一个所有错误中的基本形式,某个模型中的对象是另一个对象,然而几乎任何模型中的对象都不是个体,一个模型声称建立了某些对象的关系,而其实这些对象之间有纠缠不清的次级对象组合关系,比如说,民意和司法、自由和平等的关系如何处理?

逻辑表达式实际上是一种语言的书写,它本身以物理对象的形式被我们感觉。不过,我们习惯把它们作为指号来用,用来标记物理对象(先不谈物理对象和现象论对象的区分)好像它们自己不是物理对象一样。尽管如此,我们认为它们有“意义”,因为它们指示对象。这个过程是怎么发生的?就像你现在看到屏幕上的这些文字,它们以特定的光线呈现给你特定的形状,它们是如何有了分离于世界的地位了呢(也可以说,形成语词-世界的结构)?是我们的心灵意向吗?大概必须将最后的驱动倒退到不是具有广延性的东西上。当然这里又涉及到其他重要的哲学问题。我们关注的是,为什么我们的语言书写(它同样是物理对象)具有比图形、石头、动物、城市或国家这些物理对象更优越的作为“指号”的地位呢?没什么保证它们的这一优越地位。除了心灵这个其性质聚讼纷纭的东西之外,一切意向内容都是心灵之外的事物,说语言书写比如说“桌子”(请努力去想它其实是个物理对象)指示了眼前的那个桌子,这无非是说一个物理对象是另一个物理对象的指号。这使我们想什么是指号的问题。文字、图形、物体这些对象都可以是指示其他对象的指号,也可以本身是其他对象作为指号所指示的对象。虽然如此,心灵不会因为这些物理对象的不同特性而认为它们所表达的逻辑是不同的。这样说来,逻辑的确不在世界中,只在心中。万物皆可作为语言,逻辑隐藏其后。

所有的这些想法对于我而言都是暂时的,它们一定有很多错误,但却必须作为我继续阅读和思考的前提。


附录1

由勒文海姆(Leopold Löwenheim)1915年开始的,通过从1920年到1933年之间斯科伦(Thoralf skolem)发表的一系列论文得以简化和完成的一项研究,揭示了数学结构的又一缺陷,这就是为人们熟知的勒文海姆-斯科伦定理。设想人们为数学的某个分支,或者说就是为可以作为整个数学的基础的集合论,建立了合乎逻辑的数学公理,对此,最合适的例子莫过于用于整数的那组公理了。人们希望这些公理能确定整数的全部特性,并且仅仅是这些特性。然而奇怪的是,人们发现可以找出截然不同的解释或模型,都能满足这些公理。因此,鉴于整数集是可数的,或者按照康托尔的记法,存在À0个整数,则存在着整个实数集合(甚至在超限的涵义上更大的集合)同样多元素的集合的解释。同理,相反的现象也可能出现,也就是说,假设人们承认了关于集合论的某个公理系统,进而还希望这些公理可以容纳并且的确能描述不可数集族的全部特性。然而,人们却发现了满足这个公理系统的可数集族以及其他一些与人们的常识非常不同的超限解释。实际上,每一个相容的系统都存在着相应的可数模型。

这意味着什么呢?假定人们打算开列一张特征表,并认为它可以刻划且仅仅刻划了美国人,但令人吃惊的是,某人发现了一种动物,并具有表上所列的全部特性,但它完全不同于美国人。换言之,试图用公理系统来描述一类唯一的数学对象事实上是不可能做到的。

……勒文海姆-斯科伦定理与哥德尔不完备性定理同样惊世骇俗。对于发端于20世纪初的公理化方法而言,它无疑是另一次沉重打击。直到不久前公理化仍被认为是唯一可靠的方法,而且仍被逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者使用着。

(克莱因:《数学:确定性的丧失》,湖南科技出版社,1997)

附录2

Löwenheim(勒文海姆)和skolem(斯科伦)在谓词演算方面做了令人感兴趣的工作,特别引人注意的成果是“佯谬式的”定理:如果公理集合论有一个模型,那么它就有一个可数模型,因为我们想要有许多不可数的集合,这一点就显示出形式系统的局限性。

从洛文海姆—斯科伦子模型定理可推出,没有可数的一阶理论可以唯一地确定实数,因为我们所想的实数模型是不可数的。类似的结果还有,若通常的公理系统ZF有一个模型,则它也有一个可数模型M。例如,我们可以在ZF中证明一个定理(1) ∃x(x是不可数的),即,ZF |=(1),因而有M |=(1)。但(1)仅仅在M内为真,从模型的外部看,对于M,(1)是不真的。换句话说,即使M包含很多集合(例如ω1在M中),按照在M中能利用的函数,这些集合是不可数的,但它们在“真实的世界”中却是可数的。有时称这种特异现象为Skolem悖论。在现代集合论研究中,人们常常遇到在给定的模型中一个集合的基数与它的真实基数之间的差别。

(王浩:《数理逻辑通俗讲话》,科学出版社,1981)

附录3

设想一个人Paula,她只有有限的知觉,也就是视觉,并且她还没有颜色的概念(notion)。现在给她展示一些材料,她获得了一下元感(erb):

Paula将如何获得颜色的概念呢?她会在这堆材料中发现出一些关系,比如根据它们的关系,她建立了如下集合,这个集合是根据各个元感的部分相似性(particular relation)建立的:

{<A, A>, <A, B>, <A, C>, <A, E>, <A, F>, <B, A>, <B, B>, <B, C>, <B, F>, <C, A>, <C, B>, <C, C>, <C, D>, <C, F>, <D, C>, <D, D>, <D, F>, <E, A>, <E, E>, <E, F>,<F, A>, <F, B>, <F, C>, <F, D>, <F, E>, <F, F>}

这就是Paula所获得所有信息了。她知道这些部分哪些元感是不同的,以及它们是如何部分相关的。这些在她的元感的关系也可以用以下几何图形呈现(你可以把它看成是一个模型):

给定这些部分关系,她可以尝试建立起一些“部分同一体”(part identities,Pi)。显然,她会区别那些包含共同元素的元感的类,以及那些没有任何元素存在于另一个元感的类。这样她就得到了以下几个类:

{A, B, C, F}, {A, E, F}, {C, D, F}

也相应的,她有了黑({A, B, C, F})白(A, E, F})和灰({C, D, F})三种颜色的概念。这三种颜色是被构建出来的,是具有相似特征的元感的类,但这些元感又是部分相似的,以至于说它们都是某种颜色的实例,比如说A, B, C, F都是黑色,这是在部分同一性的基础上的。把这个实验设想一个现实的对照实例,比如说,观察一个显示屏,在离开足够远的距离,A, B, C, F很有可能在感觉上变成同一种颜色。这有两点启示,(1)对象的同一性的建立是程度上的问题,也就是说,对象的外延只能在某种程度上确定;(2)在特定的领域和视角,建立在部分同一性基础上的对象可以作为该领域的理论/模型的适当对象,尽管要明白它本身的模糊性。

2019年8月5日
江湾

@2019-08-05 02:16
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